13. B-value at specific point & div B = 0 & High-voltage transfer

1. Biot-Savart's law

전류 I가 wire에 흐를 때, 특정 위치의 Magnetic field의 값은 해당 wire 전체의 전류에 영향을 받는다
도선의 일부 dl 에 흐르는 전류가 가하는 특정 위치 P의 magnetic field는 dB이다.
이 값은, $dB = CI\frac{\vec{dl} \times \vec{r}}{r^2}$ 이다.

(C는 constant, $\vec{r}$은 dl으로부터 dB방향으로의 unit vector) 
이것을 전체 도선에 대해 integrate하게 되면, 해당 위치 P의 magnetic field값이 나온다.  

 

이 때, C는 $10^{-7}$ 인데 이 값은 $\frac{\mu_0}{4\pi}$로 쓸 수도 있다. 이 때 $\mu_0$는 permeability of free space이다. 

직선 도선에 전류가 uniform하게 distributed가 되어있고, 특정위치 P와 도선간의 직선거리가 R이라면
위의 식을 통해 integrate한 값은 $B = \frac{\mu_0I}{2 \pi R}$ 이 된다(Biot-Savart's law)

이번에는 원형으로 닫혀진 wire가 있다고 생각해보자. 원의 중심에 작용하는 magnetic field B의 값은
dB가 모든 dl의 위치에서 동일하므로, 단순히 dB의 크기인 $\frac{\mu_0 I}{4 \pi R^2}$에 원형 wire의 길이인 $2 \pi R$을 곱한, $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$이 된다. 
다른 위치에서도 원리를 적용하여 integrate하면 B를 구할 수 있지만, 실질적으로 컴퓨터를 이용해서 구하는것이 좋다. 

2. div B = 0

Maxwell의 equation중 첫번째는 gauss's law였다. 

 

두번째는 magnetic field에 관한것이다.
임의의 closed surface에 대해서 magnetic field를 surface에 대해 적분했을 때 magnet의 monopole이 존재하지 않는다는 가정 덕분에 값은 항상 0이 된다.

 

 

divergence가 0이라는 것은 쉽게 말해서 특정 point를 둘러싸는 임의의 밀폐된 공간이 주어졌을 때, 그 공간의 표면을 통하여 출입하는 net flux의 합이 0이라는 뜻이다.

 

3. High-voltage Power Lines

Potential이 $V_A$인 charge를 $V_A \to V_B \to V=0$ 로 보낸다고 해보자.
$V_B \to V=0 $인 구간은 실제로 가정에서 사용하는 구간이고, $V_A \to V_B$ 는 생산된 Power를 전송하는 구간이다.
Charge flow는 전 구간에서 동일해야 하므로 current I로 동일하다.
전송구간에서 wire의 저항이 R이라면, $V_A - V_B = IR $이다.
따라서, 가정의 소비전력은 $V_B I = V_A I - I^2 R $이다. 생성된 Power인 $V_A I$값이 동일할 때, 송신구간의 손실을 줄이기 위한 방법은
$R = \frac{\rho l}{A}$ 의 식에 의해 wire를 결정하는 방법과, I를 작게 만드는 방법이 있다. 
송신구간의 손실이 동일할 때, I가 작아지기 위해서는 $V_B$가 커져야 한다.
따라서, High-voltage로 power를 전송해야 송신구간의 손실을 줄일 수 있다. 물론, high-voltage는 이후에 낮춰져야 한다.  

 

한가지 고려해야할 것은, breakdown voltage 보다 작은 voltage로 보내야 corona discharge를 예방할 수 있다는 것이다.