10. Battery, Work in circuit, Kirchoff's rule

1. Battery

 

 

Battery에 연결되어있는 resistor 1개의 폐회로를 생각해보자.
Battery의 오른쪽은 +, 왼쪽은 -이고 회로를 따라서 +에서 -뱡항으로 electric field가 생성이 된다. 
이러한 electric field의 방향으로 current가 발생한다.
하지만 Battery 내부에서는 오른쪽(+)에서 왼쪽(-)방향으로 electric field가 생성이 되고
이것은 회로의 current의 이동방향과 반대가 된다.
따라서, 전자의 지속적 이동으로 current가 흐르기 위해서는 -의 electron이 이러한 반대방향의 electric field를 극복하고 +로 이동하는 work를 해야하는데,
이것을 위한 에너지를 chemical energy에서 얻을 수 있다(chemical energy의 electric enegry로의 변환)

 

출처 : Wikimedia

ion이 통과할 수 있는 판으로 구분된 수조를 생각해보자.
왼쪽에는 ZnSO4용액이, 오른쪽에는 CuSO4 용액이 담겨있고, Zn, So4, Cu 모두 ion의 상태이다.
왼쪽에는 Zn판을, 오른쪽에 Cu판을 넣는다.
Zn판과 Cu판에는 potential difference가 존재하는데, 이는 양자역학의 이해가 필요하다.
Zn판과 Cu판을 연결하면 수조위 연결부분에서는 potential difference로 인해 electron이 이동하지만,
수조내 판부분에서는 electric field가 전류가 흘러야하는 방향과 반대가 되어, electron은 더이상 이동하지 못한다.
하지만 이동한 electron은 용액의 Cu+ 이온과 결합하여 Cu판에 Cu precipitate(침전물)을 생성해낸다.
오른쪽 용액은 상대적으로 SO4- 이온 과다가 되고, SO4- 는 charge carrier가 되어 판을 통해 왼쪽으로 이동한다.
이러한 charge carrier의 이동으로 인해 전체적으로 전류가 흐르게 된다.
왼쪽으로 SO4- 가 이동할 때, Zn판의 Zn이 electron을 내놓고, Zn+가 되면서 전기적 중성을 맞추게 된다.
이렇게 내놓은 electron은 연결된 회로로 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하게 된다. 
이것이 반복되면, 지속적으로 왼쪽은 용액 속의 Zn이 증가함으로 인해 농도가 진해지고, 오른쪽의 Cu판에는 precipitate가 지속적으로 생성된다.
하지만, 이러한 농도의 증가와 침전은 한계가 있으므로 어느 순간 전류가 더이상 흐르지 않게 된다(discharge)
이 때, power supply로 반대방향으로 전류를 흐르게 하면, 지금까지 일어났던 것과 반대의 현상이 일어나게 되고
용액은 다시 묽어지고, 침전물은 다시 용해된다(charge)
이것이 Battery의 원리이다. 

2. Real potential difference of Battery

 

 

 

Battery가 에너지를 공급하고, resistance가 연결된 closed circuit을 생각해보자.
E (EMF, electromotive force)는 battery가 unit charge당 제공하는 electric energy 된다. 
Ohm's law에 의해 $E = I(r_i + R)$이다. 이 때 $r_i$ 는 battery 내부의 저항이다.
따라서, battery와 연결된 circuit의 왼쪽 terminial을 A, 오른쪽 terminal을 B로 잡았을 때
$E - Ir_i = IR = V_B - V_A = V$ 이므로
실제로 양쪽 terminal의 potential difference $ V = E - Ir_i $ 가 된다.
또한, $ I = E/(r_i + R) $ 이므로, $ I_{max} = E/r_i (R = 0, V = 0) $ 이다.

만약 3개의 battery를 직렬로 연결하면 공급되는 EMF는 3E일 것이다.

3. Work in curcuit

battery와 연결된 terminal A, B의 potential이 각각 $V_A, V_B$일 때, 미소 charge인 dq를 $V_A$에서 $ V_B $ 로 옮기면
옮기는데 한 일은 $ dW = dq(V_A - V_B) $ 가 된다. 이것을 미소시간 dt로 나누게 되면,
$ dW/dt = dq/dt(V_A - V_B) $ 가 되어, P = IV 라는 식이 완성된다. (P는 power, V는 terminal간의 potential difference)
Ohm's law에 의해 V = IR 이므로, $ P = I^2R = V^2R $ 이 된다
참고로 battery가 하는 일은, $ P = I^2(R+r_i) $ 이다. 이 때, P_max는 I_max, R = 0 일 때의 값이고 $ P_max = I_max^2r_i $ 이다. 

$ r_i $ 가 R에 비해 매우 낮은 경우, R을 끊고 배터리를 직접 연결하게 되면, 배터리에 흐르는 전류는 $ E = I(R+r_i) $ 에 의해 급격히 증가하게 된다.
이로 인해 P는 I의 제곱에 비례해 증가하므로. 급격히 증가해 배터리는 초당 엄청난 일을 하게되고, 엄청난 열을 발생시키게 된다.
이는 배터리를 파괴할 수 있고, 상황을 매우 위험하게 만든다 (short현상)

4. Kirchoff's rule (conservative field를 다룰 경우)

여러 resistance, battery가 연결된 복잡한 회로에 걸리는 current, voltage를 구할 때 kirchoff's law를 이용할 수 있다.

First rule은 closed loop에 대해 $\int E \cdot dl = 0$라는 것이다.

다른 표현) 회로내에 걸리는 모든 V의 합이 0이다.

 

Second rule은 charge conservation이다. steady-state에서 어떤 junction을 통해서 current가 흐르든 간에, flow in과 flow out은 같다는 것이다.

 

이러한 방식으로 회로의 부분마다 closed loop를 놓고 방정식을 세우고, second rule으로 current식을 세우면, 각 resistance에 걸리는 전압을 계산할 수 있을 것이다.