8. Dielectrics in capacitor

1. Insulator in capacitor

 

$+\sigma$, $-\sigma$ 사이의 electric density를 가지는 두개의 평행한 plate를 생각해보자.

두 plate사이에는 insulator가 끼워져 있다.

insulator내부의 electron은 atom에 bounded되어 있으므로, 두 plate에 의한 electric field는 diapole을 induce한다.

따라서, insulator의  $+\sigma$ 부근에는 - charge가, $-\sigma$ 부근에는 + charge가 induced된다.

이러한 insulator의 diapole로 인해 plate에 의한 electric field $E_{free}$와 방향이 반대인 $E_{ind}$가 생성된다.

 

$E_{free} = \sigma_{free}/\epsilon_0, E_{ind} = \sigma_{ind}/\epsilon_0$ 이므로 

$E_{net} = E_{free} - E_{ind} = E_{free}(1-l) = E_{free}(1/K) \quad ( l<1,\,K(Kappa) =  dielectric\,constant)$

$E_{net} = E_{free}/K$ 가 된다.

 

이것은 Gauss's law에 의해서도 성립함을 확인할 수 있는데,

하나의 plate를 관통하는 cylinder를 gauss surface로 잡으면, gauss surface 내부의 charge가 diapole의 -에 의해 감소하였으므로, electric field의 surface integral의 값이 감소하고, electric field도 기존에비해 감소함을 알 수 있다.

 

1500V로 완전히 충전된 capacitor를 생각해보자.

두 plate사이에 insulator를 끼워넣을 경우, K가 클 수록 $E_{net}$이 감소하고, $V=\frac{E_{free}d}{K}$ 가 되어  두 plate사이의 potential difference는 1500V보다 감소한다. 즉, 더 적은 potential difference로 동일한 charge를 충전할 수 있는 효과를 얻게 된다.

Capacity C = Q/V 이므로, capacity가 K배만큼 증가하는 것과 같은 효과이다.

최종적으로, $C = \frac{A\epsilon_0K}{d}$ 이다.

다시 1500V로 충전시킬 경우, 더 많은 charge가 충전됨을 볼 수 있다.

 

2. Distance between two plates

 

Capacity는 plate사이의 거리 d를 감소시킴으로서도 증가시킬 수 있다. 하지만, d가 너무나 작게 되면, V = Ed에 의해, 
Electric field가 매우 크게 증가하여, insulator의 breakdown electric field값을 초과하게 되고, spark가 발생할 수 있다.

 

결과적으로 충분히 큰 breakdown electric field값과, dielectric constant를 갖는 material을 insulator로 선택하면 훌륭한 
Capacitor를 만들 수 있는데, 예를 들어, polyethylene의 breakdown electric field =  18million V/m, K = 3 이므로 훌륭하다.

 

3. Charge increase of same capacitor

 

동일한 물질로 이루어진 두 capacitor를 생각해보자. 

C = Q/V이므로, 하나를 100배 더 많은 charge로 충전시키고 싶다면, potential difference를 100배를 늘리면된다.
Breakdown electric field가 동일하고, $V = E_{net}d$이므로, 100배 더 큰 potential을 갖는 capacitor는 breakdown을 방지하기 위해 minmum distance를 100배 더 크게 해야한다.
그런데, $C = \frac{A\epsilon_0K}{d}$ 이므로, 우리가 원하는 100배의 charge를 충전시키기 위해 A는 100배 커져야한다. 
이것은 n배 더 큰 voltage로 충전되기 위해서는 volume을 $n^2$배 크도록 만들어야 함을 의미한다.