7. Capacitance

1. Electric field energy

 

charge의 크기가 같고 방향이 다른 두개의 평행한 plate를 생각해보자. 

 

두 plate는 h만큼 떨어져있고, 이것을 x만큼 이동시킨다. 

이것을 위해 필요한 일은 + Q charge에 작용하는 평균적인 force가 (0+E)/2*Q이므로 다음과 같다.

 

양변을 plate의 volume V로 나누면, 다음과 같고 이것은 Electric field energy density로 표현된다. 

 

따라서, Electrostatic potential energy는 Electric field energy density를 모든 공간에서 volume으로 적분한 것과 같다.

 

 

이는 Electric field가 존재하는 곳에서 volume의 생성이 potential energy를 만드는 관점으로 볼 수 있다.

따라서, 한 plate로부터 h만큼 떨어진 곳에 있는 다른 plate의 Electrostatic potential energy는 다음과 같다.

 

여기서 dV는 volume이고,  V는 volts이다.

 

2. Capacitance & Capacitor potential energy

 

Capacitance는 Q/V (Coulomb/volts) 로 정의되고 단위는 Farad이다.

 

Charge Q를 가지고있는,  Radius = R의 Sphere를 생각해보자.

Capacitance는 다음과 같다.

 

반지름이 큰 sphere일 수록 동일한 electric potential를 갖기 위해 더 많은 Charge가 필요하고, 이는 주어진 electric potential에 대해 charge를 유지시키는 능력을 의미한다.

 

하지만 실제로는 Charge를 갖는 물체는 크기가 같고 polarity가 다른 Charge를 갖는 conductor를 갖게 된다.

 

B의 electric potential은 B의 표면까지 unit charge + 를 옮기는데 필요한 work이므로, A의 존재로 인해 B만 존재했을 때보다 더 작아지게 된다. 따라서, 계산된 것보다 더 큰 Capacitance를 실제로는 갖게되고 따라서 A에 의한 영향을 고려한 다음과 같은 Capacitance의 정의가 필요하다.

 

따라서, same amount charge, opposite polarity를 갖는 parallel plates의 경우 Capacitance는 plates의 area에 비례하고, distance에 반비례하게 된다. 

 

그렇다면, Capacitor에는 얼마나 많은 에너지를 저장할 수 있을까?

앞서, parallel plate의 potential energy는 다음과 같았다. 

 

여기서 Q = CV이므로 (V는 potential difference) capacitor에 저장되는 potential energy는 다음과 같다. 

 

위의 식들을 종합해보면, Capacitor가 특정 voltage difference를 갖도록 충전하게 되면, Capacitor의 capacitance에 따라 다른 양의 Charge가 충전된다. 충전된 에너지 u는 위의 식과 같게 된다. 그리고 이러한 capacitor를 전구와와 같은 resistance를 가진 circuit에 연결하면, 충전된 에너지 u만큼 capacitor는 일을 하게 된다. 

사진기의 불빛은 이러한 방식으로 짧은 시간에 많은 potential energy를 방출하게 함으로서 이루어진다. 

매우 짧은시간에 이러한 energy를 방출할 수록 고속물체의 촬영이 가능해진다.