9. Electric currents

1. Electric currents

 

Current를 이해하기 위해 conductor인 copper에서 시작해보겠다.
Cu (copper)의 free electron은 300K에서 $v_e = 10^6$ m/s의 속도로 chaotic motion을 하고 이것은 thermal motion이다. 
이것은 매우 빠른 속도로, Free electron은 Electric field에 의해 무한정 속도가 증가하지 않고, 이 때문에 중간에 atoms와 충돌하게 된다. 충돌까지 걸리는 average time은 $\tau = 3*10^{-14}$ sec 이다.
**Electric field에 의해 가속가능한 시간이며, 온도가 올라가면 더 빠르게 electron이 운동하므로 값이 감소함
Cubic meter당 electron의 갯수는 $10^{29}$ 이다. 
Electron의 mass는 $10^{-30}$ kg이다.

Electric field에 의해 electron이 받는 힘은, F = eE (e는 unit charge)이고, $a = F/m_e$ 이다.
따라서, Electric field에 의한 Electron의 drift velocity는 $v_d = a\tau = \frac{eE}{m_e\tau}$이다.

 

10m의 copper wire를 생각해보자. 
End to End의 potential difference가 10V라면, V = Ed이고 d=10m, V=10V이므로, E = 1 V/m가 된다.
모든 값을 넣고, collision시 Electric field에 의한 Electron의 평균속도를 계산하면, $v_d$는 약 $5*10^{-3}$ m/s가 된다. 
(1초에 0.5cm이동하므로 10m를 완전히 이동시 30분정도 걸림)

Electric current는 주어진 sufrace를 단위시간당 통과하는 charge의 양이다. I = dQ/dt
따라서 copper wire에서, wire의 단면을 수직으로 절단한 surface에서 current $I = v_dAne$ 이다.

(A는 coppre wire의 단면적)
그런데, $v_d = \frac{eE}{m_e\tau}$ 이므로,  $I = \frac{e^2n\tau}{m_eAE}$ 이다. 이 때, $e^2n\tau/m_e = \sigma$ (conductivity)로 표현할 수 있다.
따라서, $I = \sigma AE = \sigma AV/l$ 이다.
다시 쓰면, $V = \frac{Il}{\sigma A}$ 이고, $\frac{l}{\sigma A} = R$로 놓으면, V = IR 이라는 Ohm's law가 나온다. 
참고로 $\rho = 1/\sigma$ 로 쓸 수 있고, resistivity를 의미한다. 이에 따라 $R = \rho l/A$  로도 표현할 수 있다.
이는 파이프가 길면 물이 흐르기 어렵고, 파이프의 단면적이 크면 더 쉽게 흐를 수 있다는 것과 유사하다. 

 

2, Current and Resistivity relationship

copper의 온도가 올라갈수록 $\tau$는 감소하여 resistivity는 증가한다. 그런데, 이 온도또한 current I의 함수이다.
이것은 I를 지속적으로 증가시킬 때 V가 linear하게 증가하지 않는다는 것을 의미한다. 
왜냐하면 current가 흐름에 따라 conductor의 온도가 올라가고 resitivity가 증가하기 때문이다(V가 급격히 증가)

반면 공기는 온도가 올라갈수록 resistivity가 감소한다.

 

2.  Series and parallel circuits
직렬연결과 병렬연결된 저항을 생각해보자.
직렬연결된 경우, 양쪽 저항에 흐르는 current는 flow이므로 동일하다. 하지만, V는 서로 다르다.
V = I(R1+R2) 이다.
병렬연결된 경우, 양쪽 저항에 flow가 분산되므로 current는 다르고, potential은 각각 하나의 저항만을 거치므로 동일하다.
V = I1R1 = I2R2, 전체 flow I=I1+I2 이다.

water로 연결된 두 copper plate사이에, salt를 첨가할 경우, ion이 생성되어 전하를 전달할 수 있는 능력이커져 conductivity가 증가한다.