24. Traveling wave & Standing wave

1. Traveling wave

 

Traveling wave는 이동속도 v를 가지고 이동하는 wave이다.

 

 

 

y = 2sin(x-6t)  라는 wave를 생각해보자. y=2sinx라는 wave가 t초마다 6만큼 x방향으로 이동하는 것이다. 

y = 2sin3(x-6t) 라는 wave는 y = 2sin3x라는 wave가 t초마다 6만큼 x방향으로 이동하는 것이다.

 

일반화하여, $y = Asin(kx-\omega t)$ 라는 wave는 $ y = Asinkx $라는 wave가 t초마다 $ \omega/k $만큼 x방향으로 이동하는 것으로 볼 수 있다.

 

2. Standing wave

 

Standing wave는 이동하지 않고 제자리에서 진동하는 wave이다. 

 

오른쪽, 왼쪽방향으로 이동하는 traveling wave 각각을 더해서 만들 수 있다.

$y_1 = y_0 sin(kx-\omega t)$,   $y_2 = y_0 sin(kx+\omega t)$ 인 두 traveling wave를 더하면, 삼각함수 공식에 의해

$y = y_1 + y_2 = 2y_0 sinkx \cdot cos\omega t $ 로 쓸 수 있다.

진폭이 2배가 되며, x항과 t항이 분리가 되고, t가 증가함에 따라 wave가 제자리에서 진동한다.

 

 

 

이번에는 줄의 한쪽끝을 벽에 고정시켜놓고 다른 한쪽 끝을 위 아래로 움직이면서 wave를 생성해보자.

그러면 wave가 다른 한쪽으로 전달이 되고, 다시 반사된다. 이것은 반대방향으로 움직이는 wave가 생성되는 것과 동일하다. 반사된 wave는 또 다시 다른 한쪽끝으로 반사되고, 이것을 반복한다.

특정한 조건하에서, 이런식으로 반사된 wave들은 서로 support하여 큰 진폭의 wave를 생성한다. 

이러한 현상은 매우 특정한 frequency에서만 발생하게 된다.

 

줄의길이가 L일 때, 1번째 harmonic은 파장 $ \lambda = 2L $ 일 경우이다. 2번째 harmonic은 $ \lambda = L $ 이다.

n번째 harmonic은 $ \lambda = \frac{2L}{n} $ (n = 1, 2, 3, ...)인 경우이며, 이경우 frequency $f_n = \frac{nv}{2L} $ 이다. (v는 wave진행속도)

 

 

RLC circuit이 하나의 resonance frequancy를 가진것과 달리, 무한한 resonance frequency number를 가진다.

 

우리가 다루는 수많은 악기들도 이러한 현상을 이용하게 된다. 

바이올린의 줄을 짧게 잡을 경우, L이 감소하여 harmonic frequency가 증가하고 고음을 낸다.

플룻의 입구를 다 막을 경우, L이 증가하여 harmonic frequency가 감소하고 저음을 낸다. 

바이올린에서 줄의 파동의 진행속도 v는 줄의 장력에 비례하는데, tuning이라는 것은 이러한 줄의 장력을 조절하여 v를 변경하고 frequency를 맞추는 과정이다.