19. Inductance & RL circuit & Magnetic field energy

1. Inductance

circuit에 current가 흐를 때, current의 크기에 비례한 magnetic flux가 생성된다. 
따라서, $\phi_B = LI$ 라고 쓸 수 있고, L을 self-inductance라고 부르며 geometry특성과 관련되어있다.
current는 계속해서 변화할 수 있으므로, 이에 의한 magnetic field의 변화가 생기고 이에 반발하는 induced EMF가 생성된다. Faraday's law에 의해 $EMF_{ind} = -\frac{d\phi_B}{dt} = - L\frac{dI}{dt}$ 이다. 

Solenoid를 생각해보자. solenoid의 magnetic field $B = \mu_0 I \frac{N}{l}$ 이다.
Solenoid를 관통하는 magnetic flux $\phi_B$ = 감은면적*자기장B*감은횟수 이므로, $\phi_B = \pi r^2 N^2 \mu_0 \frac{I}{l} = LI$ 이다. 
따라서, solenoid의 $L = \pi r^2  \frac{N^2}{l} \mu_0$ 이다(단위는 H, Henry)

모든 circuit은 값이 매우 작더라도 0이아닌 자신의 유한한 값의 self-inductance를 가지고 있다.

battery, solenoid, resistor가 연결된 RL circuit을 생각해보자.
Battery의 EMF에 의해서 current가 증가할 것이다. 하지만 solenoid에 의해 생성되는 current의 변화는 magnetic field의 변화를 야기하고, 이러한 변화와 반대되는 방향으로 스스로 EMF를 유도할 것이다. 즉, 역방향 current를 생성하는 EMF를 self-induce 하는 것이다.   
따라서, circuit의 current는 최대 current까지 self-inductance가 클수록 천천히 증가할 것이다. 

참고로 이렇게 current가 변하는 시점에는, Kirchhoff's law는 성립하지 않는다. 
왜냐하면 Solenoid에 의한 역방향 EMF가 적용되어,  $\oint E \cdot dl \neq 0$ 이기 때문이다.

2. RL circuit

다시 battery, solenoid, resistance가 연결된 RL circuit에서, solenoid가 superconductor이고, resistor의 저항이 R이라고 해보자. superconductor내부에서는 electric field = 0이고, 저항도 0이다. 
따라서, 실제로 closed circuit에 대해 $ \oint E \cdot dl $  을 하였을 때, $ 0 + IR - V = - L \frac{dI}{dt} $ 임을 알 수 있다
(V는 battery내부의 potential difference이고 이 값은 battery 내부에서 $ E dl $값과 같음)
즉, $\frac{dI}{dt} =  0 $이 될때 kirchhoff's law가 성립하며, 다시쓰면 $V + L \frac{dI}{dt} - I R = 0$이다.

그렇다면 이러한 I에 대한 differential equation을 풀면, 시간에 따른 $ I = I_{max} (1 - e^{- \frac{R}{L} t})$,  $I_{max} = \frac{V}{R} $ 이다. 
참고로, $ t = \infty $ 일 때 $ I =  I_{max} $이고, $ t = \frac{L}{R} $일 때 I는 $ I_{max} $의 63%이다.

3. Magnetic field energy

RL circuit에 완전히 $I_{max}$의 전류가 흐르는 상태에서, battery를 제거해보자.
$V + L \frac{dI}{dt} - I R = 0$  에서 V의 항이 0이 되므로, 식은 $ L \frac{dI}{dt} - I R = 0$ 가 되고, differential equation을 풀면, $I = I_{max}  e^{-\frac{R}{L} t} $ 가 된다.
$t = 0$에서 $I = I_{max}$이고, $t = \infty$이면, $I = 0$ 이 된다. 
battery를 제거해도 여전히 회로에는 current가 흐르게 되는데, 이 때 resistance에 의해 heat가 발생하고, 이는 곧 에너지의 손실을 의미한다. battery를 제거했는데 에너지는 어디서 올까? 바로 inductance의 magnetic field에서 온다.

battery 제거시, resistance에 의해 손실되는 에너지를 확인해 보자. 초당 에너지손실은 $I^2 R$이므로
$\int_{0}^{\infty} I^2 R dt$ 를 하고, $I = I_{max}  e^{-\frac{R}{L} t} $ 를 대입하여 계산하면, 총 손실된 에너지는 $ \frac{1}{2} L I_{max}^2 $ 이다. 

그렇다면, solenoid에 존재하는 magnetic field가 volume당 갖는 에너지는 어떻게 될까?  
solenoid의 magnetic field density $ B = \mu_0 I (N/l) $를 이용하여 I에 대입하고, 
solenoid의 inductance $L = \pi r^2  \frac{N^2}{l} \mu_0$ 를 이용하여 L에 대입하면, 
총 에너지 $ \frac{1}{2} L I_{max}^2  = \frac{B^2}{2 \mu_0} \pi r^2 l $이다. 이 때, $\pi r^2 l $은 solenoid내부의 volume이고, magnetic field가 이곳에 집중되어있다고 가정하고 volume당 energy를 계산하면, $ \frac{B^2}{ 2 \mu_0}  $  $J/m^3$ 가 solenoid의 magnetic field energy density이다. 

4. RL circuit with AC battery

AC battery, solenoid, resistance가 연결된 RL circuit을 생각해보자

$V + L \frac{dI}{dt} - I R = 0$ 라는 close loop 식에서, AC일경우 $ V = V_0 cos(wt) $ 로 설정된다.
따라서, $V_0 cos(wt) + L \frac{dI}{dt} - I R = 0$  라는 differential equation을 풀면,

current $ I =  \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (wl)^2}} cos(wt - \phi) $
이 때, $tan(\phi) = \frac{WL}{R}$ 이다. 이 때 약간의 phase difference $\phi$에 의해 current는 일정시간 0으로 있다가 실제보다 약간 늦게 나타난다. 
실제로 w항은 저항의 역할을 하며, frequency가 클 수록 current의 변화가 빠르다는 것이므로 그만큼 current의 변화에 더 저항하여 current는 값이 작아지고, 더 늦게 나타나게된다. 

 

5. Magnetic leviation with AC current

conductor위에 놓여진 코일을 생각해보자.  이곳에는 AC current가 흐르고, levitation 현상이 일어난다. 
AC current는 current의 절댓값이 증가/감소 하는 것을 반복하고, 이에 따라 conductor에 eddy current가 생성된다.
절댓값이 증가할 때는 증가에 반발하여 서로 repel하게 되고,  절댓값이 감소할 때는 감소에 반발하여 서로 attract하게 된다. 즉, repel과 attract를 반복한다. 
하지만, AC의 frequency를 매우 크게 증가시켜 phase difference를 90 degree에 가깝게 만들면, 유도된 eddy current가 해당 phase만큼 늦게 나타나게 되고 항상 repel만 하게 하는 levitation을 구현할 수 있다. 만약, 코일의 저항이 매우크다면, $tan(\phi) = \frac{WL}{R} = 0 $에 가까워져 levitation이 일어나지 않을 것이다.