3. Electric flux

1. Electric flux

 

Electric flux는 주어진 surface를 통과하는 electric field의 양을 말한다. 매우 작은 넓이 A를 가지는 surface가 주어졌을 때, Electric flux는 다음과 같다. Electric field인 E와 surface의 normal vector방향인 dA 의 dot product이다. 

 

Closed sufrace에서, surface의 normal vector는 항상 inside에서 outside로 나오는 방향이다.

Closed surface에서, 전체 Electric flux는 다음과 같이 표현될 수 있다.

 

만약, Sphere가 있고 중심에 Charge Q인 point charge가 있다고 해보자. 

이 경우 surface의 normal vector는 electric field와 parallel하므로, Electric flux = 4πR^2 * E이다. 

또한 아래와 같이 표현 될 수 있다. 

따라서,Sphere의 Electric flux는 diameter와는 관계없이 중심의 charge Q에만 비례한다는 것을 알 수 있다. 

 

2. Gauss's law

 

이러한 개념을 좀 더 일반화 시켜보면, 임의의 Closed surface가 주어지고, 임의로 분포된 Charge의 합이 Q라면, Electric flux는 다음과 같이 표현 될 수 있고, 이것이 Gauss's law이다. Epsilon zero는 electric constant이다. 

 

Q가 closed surface에 uniformly distributed되어있고, shape가 symmetric하다면,  surface로부터 떨어진 특정 지점의 Electric field를 계산할 수 있다. 이 때 중요한 것은, symmetric한 gauss surface를 설정하는 것이다.

 

Radius가 R인 Sphere의 Surface에 charge Q가 uniformly distributed되어 있다고 가정해보자.

 

Radius R인 Sphere내부에 임의로 중심으로부터 r (r < R)만큼 떨어진 sphere를 gauss surface로 잡으면, Radius R인 Sphere가 uniformly distributed & symmetric하므로, Radius r인 surface의 Electric field값은 모두 동일함이 자명하고, 해당 surface내부에는 charge가 없으므로, Electric field의 값은 0이 됨을 알 수 있다.

따라서, 내부의 모든 지점에서 Electric field는 0임을 알 수 있다.

 

Radius R인 Sphere내부에 임의로 중심으로부터 r (r > R)만큼 떨어진 sphere를 gauss surface로 잡으면, Radius R인 Sphere가 uniformly distributed & symmetric하므로, Radius r인 surface의 Electric field값은 모두 동일함이 자명하고,  해당 surface내부의 charge는 Q이므로, E = Q / (4πr^2 * ε0) 임을 계산할 수 있다. 

따라서, 중심으로부터 r (r > R)만큼 떨어진 지점에서 Electric field는 Q / (4πr^2 * ε0) 이다.

 

다음으로, Flat plane의 Surface에 charge Q가 uniformly distributed되어 있다고 가정해보자.

 

Gauss surface를 어떻게 잡을 것인가? 다음과 같은 symmetric cylinder로 잡을 수 있다.

 

출처 : Wikipedia

 

만약 Charge density가 σ = Q / A 라면, gauss's law에 의해 계산해보면 E = σ / (2ε0) 가 되고, plane과의 떨어진 거리에 관계없이 일정하게 된다.

그렇다면, 정말 그럴까? 무한한 길이의 plane이라면 그럴 것이다. 하지만, 실제로는 그렇지 않고 plane의 크기에 비해 distance가 매우 멀어지면 plane은 point charge처럼 보이게 될 것이고, Electric field는 distance^2에 반비례하게 될 것이다.

 

만약 두 개의 charge density의 크기가 같고 방향이 다른 무한한 plane을 평행하게 놓았다면 다음과 같은 Electric field가 생성될 것이고, electric field는 사이에만 집중될 것이다. 실제로는 무한한 plane이 아니므로, 바깥의 eletric field는 완전히 0은 아니지만 상대적으로 매우 작다.